Aire d'un quadrilatère cyclique (Brahmagupta)
Calculateur
Résultats
- Aire
- 40.987803
- Demi-périmètre
- 13
- Périmètre
- 26
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| Aire | 40.987803 |
| Demi-périmètre | 13 |
| Périmètre | 26 |
Diagramme formula-map
- Aire
- 40.987803
- Demi-périmètre
- 13
- Périmètre
- 26
Carte des formules
Formule
A = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)), s = (a+b+c+d)/2= 40.987803063838
Note
Modèle simplifié : il s'agit des résultats exacts des formules géométriques idéalisées indiquées, en supposant des formes parfaites, des données exactes et des unités cohérentes. Les mesures réelles comportent des erreurs, et des résultats comme l'aire du quadrilatère cyclique ne valent que si la figure respecte vraiment la condition énoncée. Vérifiez de façon indépendante avant de vous fier à ces chiffres.
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Voir tout →Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un quadrilatère cyclique, et pourquoi la formule de Brahmagupta fonctionne-t-elle pour lui ?+
Un quadrilatère cyclique est une forme à quatre côtés dont les quatre sommets se trouvent sur un même cercle. Cette propriété spéciale est précisément ce qui permet à la formule de Brahmagupta de calculer l'aire à partir des quatre seules longueurs de côtés, sans avoir besoin de mesures d'angles.
Quelle est la formule de Brahmagupta, et que représente « s » dans cette formule ?+
La formule est Aire = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)), où a, b, c, d sont les quatre longueurs de côtés et s le demi-périmètre, (a+b+c+d)/2. C'est une généralisation directe de la formule de Héron pour l'aire d'un triangle, étendue aux formes cycliques à quatre côtés.
Pourquoi ne puis-je pas utiliser la formule de Brahmagupta pour n'importe quel quadrilatère avec les mêmes quatre longueurs de côtés ?+
Un ensemble de quatre longueurs de côtés peut en réalité former de nombreux quadrilatères différents (imaginez un rectangle qu'on peut « pousser » en un parallélogramme incliné tout en gardant les mêmes longueurs de côtés), chacun avec une aire différente. La formule de Brahmagupta donne spécifiquement l'aire de la configuration cyclique unique, qui se trouve être l'aire maximale possible pour cet ensemble de longueurs de côtés.
La formule de Brahmagupta fonctionne-t-elle pour un rectangle ou un carré ?+
Oui, puisque les rectangles et les carrés sont toujours cycliques (les quatre coins touchent un cercle dès que tous les angles font 90°), la formule de Brahmagupta s'applique et donne correctement longueur × largeur pour un rectangle. Elle se réduit aussi correctement à la formule de Héron pour un triangle si une longueur de côté est fixée à zéro, traitant le quadrilatère comme un triangle dégénéré.
Que se passe-t-il si les quatre longueurs de côtés que je saisis ne peuvent pas réellement former un quadrilatère cyclique valide ?+
Si les côtés ne peuvent pas se refermer en un quadrilatère valide (par exemple, un côté est plus long que la somme des trois autres), l'un des termes (s−x) sous la racine carrée devient négatif, rendant le résultat indéfini (un nombre imaginaire). C'est la vérification intégrée du calculateur pour s'assurer que les longueurs de côtés saisies sont géométriquement valides.